Mając daną funkcję \(f(x)=ax^{2}+bx+c \) możemy ją przekształcić do postaci \( f(x)=a(x-p)^{2} + q\) gdzie \( a \ne 0\) , którą nazywamy postacią kanoniczną.
Mając daną funkcję \(f(x)=ax^{2}+bx+c \) możemy ją przekształcić do postaci
\( f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\) gdzie \( a \ne 0\) oraz gdzie wyrazy \( x-x_{1} \) i \( x-x_{2}\) nazywamy czynnikami liniowymi, taką postać nazywamy postacią iloczynową lub rozkładem na czynniki liniowe.
Przykład 1:
Funkcję \(f(x)=2x^{2}+5x-3 \) zapisz w postaci iloczynowej.
Najpierw obliczamy \( \Delta \)
\( \Delta = b^{2}-4ac\)
W naszej funkcji \( a=2, b=5, c=-3\) wartości te podstawiamy do wzoru.
\( \Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25+24=49\), \( \sqrt{\Delta}= \sqrt{49}=7 \)
Teraz obliczamy \(x_{1} \) i \(x_{2}\)
\(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5-7}{4}=-3 \)
\(x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2} \)
Postać iloczynowa to \(f(x)=2(x+3)(x-\frac{1}{2})\)
Przykład 2
Funkcję w postaci \( f(x)=3x^{2}+6x-10 \) zapisz w postaci kanonicznej
Tutaj kożystamy ze wzoru na współrzędne wierzchoła paraboli \(W(p,q) \) czyli \( p = - \frac{b}{2a}\), \( q = -\frac{\Delta}{4a} \)
W tym przypadku \( a=3, b=6 c=-10\), obliczamy
\( p = - \frac{b}{2a}= - \frac{6}{2 \cdot 3}= - \frac{6}{6}=-1\),
teraz policzamy \( \Delta \)
\( \Delta = 6^{2}-4 \cdot 3 \cdot (-10)=36+120=156 \)
\( q = -\frac{\Delta}{4a} = =\frac{156}{4 \cdot 3}= -\frac{156}{12}=-13 \)
Postać kanoniczne ma postać \( f(x)=3(x+1)^{2} -13 \)