Wstecz

Funkcja kwadratowa - nierówności kwadratowe

Podobnie jak w przypadku równań przy nierównościach korzystamy z tych samych wzorów.

Przykład 1 rozwiąż nierówność

\(x^{2}+4x+3 < 0 \)

Wyznaczamy miejsca zerowe więc przyrównujemy funkcję do 0 \(x^{2}+4x+3 = 0 \)

Wyznaczmy \( \Delta \)

\( \Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4 \cdot 1 \cdot 3=16-12=4 \)

\( \Delta >0 \) więc mamy dwa rozwiązania

\( x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4a}=\frac{-4-2}{2 \cdot 1}=-3 \)

\( x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{4a}=\frac{-4+2}{2 \cdot 1}=-1 \)

Teraz rysujemy wykres, który jest rozwiązaniem, z rysunku odczytujemy, że parabola przyjmuje wartości mniejsze od zera

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności są \( x \in (-3, -1) \)

Przykład 2 rozwiąż nierówność

\(x^{2}-2x+1 > 0 \)

Wyznaczamy miejsca zerowe więc przyrównujemy funkcję do 0 \(x^{2}-2x+1 = 0 \)

Wyznaczmy \( \Delta \)

\( \Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1=4-4=0 \)

\( \Delta = 0 \) więc mamy jedno rozwiązanie

\( x_{0}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2 \cdot 1}= 1\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności są \( x \in R \setminus \{1\} \)

Zadania:

Rozwiąż niewóność

\(2x^{2}-7x+5 \ge 0 \)

\(5x^{2}-3x+2 < 0 \))

\( -2x^{2}+\sqrt{2}x-1 > 0 \)

\( (x-3)(x-4)> (2-x) \)

\( x^{2}-x-2 \le 0 \)

\( -2x^{2}+\frac{1}{2}x \ge 0 \)